时间序列预测算法-DSP

Introduction for DSP Algorithm

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时间序列预测是指使用过去的时间序列数据来预测未来的值。时间序列数据通常包括时间和相应的数值，例如资源用量、股票价格或气温。时间序列预测算法 DSP（Digital Signal Processing）是一种数字信号处理技术，可以用于分析和处理时间序列数据。

离散傅里叶变换（DFT）就是DSP领域常用的一种算法。DFT是一种将时域信号转换为频域信号的技术。通过将时域信号分解成不同的频率成分，可以更好地理解和分析信号的特征和结构。在时间序列预测中，DFT可以用于分析和预测信号的周期性和趋势性，从而提高预测的准确性。

Crane使用在数字信号处理（Digital Signal Processing）领域中常用的的离散傅里叶变换、自相关函数等手段，识别、预测周期性的时间序列。

本文将介绍DSP算法的实现流程和参数设置，以便帮助大家了解算法背后的原理，并将它应用到实际场景中。 （相关代码位于pkg/prediction/dsp目录下）

流程

预处理

填充缺失数据

监控数据在某些时间点上缺失是很常见的现象，Crane会根据前后的数据对缺失的采样点进行填充。做法如下：

假设第\(m\)个与第\(n\)个采样点之间采样数据缺失（\(m+1 < n\)）,设在\(m\)和\(n\)点的采样值分别为\(v_m\)和\(v_n\)，令$$\Delta = {v_n-v_m \over n-m}$$，则\(m\)和\(n\)之间的填充数据依次为$$v_m+\Delta , v_m+2\Delta , …$$

去除异常点

监控数据中偶尔会出现一些极端的异常数据点，导致这些异常点（outliers）的原因有很多，例如：

  1. 监控系统用0值填充缺失的采样点；
  2. 被监控组件由于自身的bug上报了错误的指标数据；
  3. 应用启动时会消耗远超正常运行时的资源

这些极端的异常点对于信号的周期判断会造成干扰，需要进行去除。做法如下：

选取实际序列中所有采样点的\(P99.9\)和\(P0.1\)，分别作为上、下限阈值，如果某个采样值低于下限或者高于上限，将采样点的值设置为前一个采样值。

离散傅里叶变换

对监控的时间序列（设长度为\(N\)）做快速离散傅里叶变换（FFT），得到信号的频谱图（spectrogram），频谱图直观地表现为在各个离散点\(k\)处的「冲击」。 冲击的高度为\(k\)对应周期分量的「幅度」，\(k\)的取值范围\((0,1,2, … N-1)\)。

\(k = 0\)对应信号的「直流分量」，对于周期没有影响，因此忽略。

由于离散傅里叶变换后的频谱序列前一半和后一半是共轭对称的，反映到频谱图上就是关于轴对称，因此只看前一半\(N/2\)即可。

\(k\)所对应的周期$$T = {N \over k} \bullet SampleInterval$$

要观察一个信号是不是以\(T\)为周期，至少需要观察两倍的\(T\)的长度，因此通过长度为\(N\)的序列能够识别出的最长周期为\(N/2\)。所以可以忽略\(k = 1\)。

至此，\(k\)的取值范围为\((2, 3, … , N/2)\)，对应的周期为\(N/2, N/3, …\)，这也就是FFT能够提供的周期信息的「分辨率」。如果一个信号的周期没有落到\(N/k\)上，它会散布到整个频域，导致「频率泄漏」。 好在在实际生产环境中，我们通常遇到的应用（尤其是在线业务），如果有规律，都是以「天」为周期的，某些业务可能会有所谓的「周末」效应，即周末和工作日不太一样，如果扩大到「周」的粒度去观察，它们同样具有良好的周期性。

Crane没有尝试发现任意长度的周期，而是指定几个固定的周期长度（\(1d、7d\)）去判断。并通过截取、填充的方式，保证序列的长度\(N\)为待检测周期\(T\)的整倍数，例如：$$T=1d，N=3d；T=7d，N=14d$$。

我们从生产环境中抓取了一些应用的监控指标，保存为csv格式，放到pkg/prediction/dsp/test_data目录下。 例如，input0.csv文件包括了一个应用连续8天的CPU监控数据，对应的时间序列如下图：

我们看到，尽管每天的数据不尽相同，但大体「模式」还是基本一致的。

对它做FFT，会得到下面的频谱图：

我们发现在几个点上的「幅值」明显高于其它点，这些点便可以作为我们的「候选周期」，待进一步的验证。

上面是我们通过直觉判断的，Crane是如何挑选「候选周期」的呢？

  1. 对原始序列\(\vec x(n)\)进行一个随机排列后得到序列\(\vec x’(n)\)，再对\(\vec x’(n)\)做FFT得到\(\vec X’(k)\)，令\(P_{max} = argmax|\vec X’(k)|\)。

  2. 重复100次上述操作，得到100个\(P_{max}\)，取\(P99\)作为阈值\(P_{threshold}\)。

  3. 对原始序列\(\vec x(n)\)做FFT得到\(\vec X(f)\)，遍历\(k = 2, 3, …\)，如果\(P_k = |X(k)| > P_{threshold}\)，则将\(k\)加入候选周期。

循环自相关函数

自相关函数（Auto Correlation Function，ACF）是一个信号于其自身在不同时间点的互相关。通俗的讲，它就是两次观察之间的相似度对它们之间的时间差的函数。

Crane使用循环自相关函数（Circular ACF），先对长度为\(N\)的时间序列以\(N\)为周期做扩展，也就是在\(…, [-N, -1], [N, 2N-1], …\)区间上复制\(\vec x(n)\)，得到一个新的序列\(\vec x’(n)\)。 再依次计算将\(\vec x’(n)\)依次平移\(k=1,2,3,…N/2\)后的\(\vec x’(n+k)\)与\(\vec x’(n)\)的相关系数

$$r_k={\displaystyle\sum_{i=-k}^{N-k-1} (x_i-\mu)(x_{i+k}-\mu) \over \displaystyle\sum_{i=0}^{N-1} (x_i-\mu)^2}\ \ \ \mu: mean$$

Crane没有直接使用上面的定义去计算ACF，而是根据下面的公式，通过两次\((I)FFT\)，从而能够在\(O(nlogn)\)的时间内完成ACF的计算。 $$\vec r = IFFT(|FFT({\vec x - \mu \over \sigma})|^2)\ \ \ \mu: mean,\ \sigma: standard\ deviation$$

ACF的图像如下所示，横轴代表信号平移的时间长度\(k\)；纵轴代表自相关系数\(r_k\)，反应了平移信号与原始信号的「相似」程度。

Crane会依次验证每一个候选周期对应的自相关系数是否位于「山顶」上；并且选择对应「最高峰」的那个候选周期为整个时间序列的主周期（基波周期），并以此为基础进行预测。

如何判断「山顶」？

Crane在两侧个各选取一段曲线，分别做线性回归，当回归后左、右的直线斜率分别大于、小于零时，则认为这个点是在一个「山顶」上。

预测

根据上一步得到的主周期，Crane提供了两种方式去拟合（预测）下一个周期的时序数据 maxValue

选取过去几个周期中相同时刻\(t\)（例如：下午6:00）中的最大值，作为下一个周期\(t\)时刻的预测值。

fft

对原始时间序列做FFT得到频谱序列，去除「高频噪声」后，再做IFFT（逆快速傅里叶变换），将得到的时间序列作为下一个周期的预测结果。

应用

Crane提供了TimeSeriesPrediction，通过这个CRD，用户可以对各种时间序列进行预测，例如工作负责的CPU利用率、应用的QPS等等。

apiVersion: prediction.crane.io/v1alpha1
kind: TimeSeriesPrediction
metadata:
  name: tsp-workload-dsp
  namespace: default
spec:
  targetRef:
    apiVersion: apps/v1
    kind: Deployment
    name: test
    namespace: default
  predictionWindowSeconds: 7200 # 提供未来7200秒（2小时）的预测数据。Crane会把预测数据写到status中。
  predictionMetrics:
    - resourceIdentifier: workload-cpu
      type: ExpressionQuery
      expressionQuery:
        expression: 'sum (irate (container_cpu_usage_seconds_total{container!="",image!="",container!="POD",pod=~"^test-.*$"}[1m]))' # 获取历史监控数据的查询语句
      algorithm:
        algorithmType: "dsp" # 指定dsp为预测算法
        dsp:
          sampleInterval: "60s" # 监控数据的采样间隔为1分钟
          historyLength: "15d"  # 拉取过去15天的监控指标作为预测的依据
          estimators:           # 指定预测方式，包括'maxValue'和'fft'，每一类可以指定多个estimator，配置不同的参数，crane会选取一个拟合度最高的去产生预测结果。如果不指定的话，默认使用'fft'。
#            maxValue:
#              - marginFraction: "0.1"
            fft:
              - marginFraction: "0.2"
                lowAmplitudeThreshold: "1.0"
                highFrequencyThreshold: "0.05"
                minNumOfSpectrumItems: 10
                maxNumOfSpectrumItems: 20

上面示例中的一些dsp参数含义如下：

maxValue

marginFraction: 拟合出下一个周期的序列后，将每一个预测值乘以1 + marginFraction，例如marginFraction = 0.1,就是乘以1.1。marginFraction的作用是将预测数据进行一定比例的放大（或缩小）。

fft

marginFraction: 拟合出下一个周期的序列后，将每一个预测值乘以1 + marginFraction，例如marginFraction = 0.1,就是乘以1.1。marginFraction的作用是将预测数据进行一定比例的放大（或缩小）。

lowAmplitudeThreshold: 频谱幅度下限，所有幅度低于这个下限的频率分量将被滤除。

highFrequencyThreshold: 频率上限，所有频率高于这个上限的频率分量将被滤除。单位Hz，例如如果想忽略长度小于1小时的周期分量，设置highFrequencyThreshold = 1/3600。

minNumOfSpectrumItems: 至少保留频率分量的个数。

maxNumOfSpectrumItems：至多保留频率分量的个数。

简单来说，保留频率分量的数量越少、频率上限越低、频谱幅度下限越高，预测出来的曲线越光滑，但会丢失一些细节；反之，曲线毛刺越多，保留更多细节。

下面是对同一时段预测的两条曲线，蓝色、绿色的highFrequencyThreshold分别为\(0.01\)和\(0.001\)，蓝色曲线过滤掉了更多的高频分量，因此更为平滑。

并没有一套参数配置适合所有的时间序列，通常需要根据应用指标的特点，去调整算法参数，以期获得最佳的预测效果。 Crane提供了一个web接口，使用者可以在调整参数后，直观的看到预测效果，使用步骤如下：

  1. 修改TimeSeriesPrediction中的estimators的参数。
  2. 访问craned http server的api/prediction/debug/<namespace>/<timeseries prediction name>，查看参数效果（如下图）。

上述步骤可多次执行，直到得到满意的预测效果。

通过port-forward进行本地调试

craned http server的端口通过craned启动参数--server-bind-port设置，默认为8082。

打开终端，

$kubectl -n crane-system port-forward service/craned 8082:8082
Forwarding from 127.0.0.1:8082 -> 8082
Forwarding from [::1]:8082 -> 8082

打开浏览器，访问http://localhost:8082/api/prediction/debug/<namespace>/<timeseries prediction name>